1.3 Frecuencia de capitalización

 La frecuencia de capitalización son la cantidad de intereses generados en determinado tiempo, al llegar el plazo acordado, estos intereses se adicionan al capital siendo incrementado este mismo y por ende incrementan los intereses a por venir.

Por ejemplo:

Se tiene un capital de $5,000.00 con un interés del 3% mensual y con una capitalización de cada 6 meses. Entonces:

Interés mensual= 5000 x 3 / 100 = 150

Interés acumulado:   150 x 6= 900

Nuevo capital después de la capitalización: $5,900.00

1.3.1 Tasa de interés nominal y efectiva

La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.

Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período x número de períodos

Ejemplo:

¿A cuánto ascenderá un préstamo de 1,000 al cabo de un año si el interés del 36% capitaliza mensualmente? ¿Cuál es la TEA?

Solución:

VA = 1,000; i = 0.03 (36/12); n = 12; VF = ?; TEA = ?

Luego la TEA del préstamo es:

Como vemos el préstamo de UM 1,000 ganó 42.58% de interés en un año. Esto es, a la tasa nominal del 36%, el Banco en un año ganó la tasa efectiva del 42.58%, la misma que representa la tasa efectiva anual (TEA).

La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

1.3.3 Cuando los periodos de interés coinciden con los periodos de pago

Cuando los periodos de interés y los periodos de pago coinciden, es posible usar en forma directa tanto las fórmulas de interés compuesto desarrolladas anteriormente, así como las tablas de interés compuesto que se encuentran en todos los libros de Ingeniería Económica, siempre que la tasa de interés i se tome como la tasa de interés efectiva para ese periodo de  interés.

 Aún más, el número de años “n” debe remplazarse por el número total de periodos de interés “mn”.

Ejemplo:

Suponga que Ud. necesita pedir un préstamo de $3,000.00. Deberá pagarlo en 24 pagos mensuales iguales. La tasa que tiene que pagar es del 1% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuánto dinero deberá pagar cada mes? Este problema se puede resolver mediante la aplicación directa de la siguiente ecuación, ya que los cargos de interés y los pagos uniformes tienen ambos una base mensual.

Datos:

P = $3,000.00

n = 24 pagos mensuales

 i = 1% mensual sobre saldos insolutos

A =? Mensual

FORMULA

A/P =  ni−+−)1(1  =  (1 )(1 ) 1nni ii++ − → (A/P, i%, n)24240.01(1 0.01)3000 $141.22(1 0.01) 1A += =+ −Por lo tanto, Ud. debe pagar $141.22 cada fin de mes durante 24 meses.

De manera alternativa, lo puede resolver calculando el factor (A/P, i%, n)

OTRO EJEMPLO Suponga que un Ingeniero desea comprar una casa cuyo precio es de $80,000.00 dando un enganche de $20,000.00 y por los $60,000.00 restantes, pide un préstamo que pagará mensualmente a lo largo de 30 años. Calcule el monto de los pagos mensuales si el banco le cobra un interés del 9.5% anual, capitalizado cada año. Nota: En este caso se sustituye i por r/m y n por mn.

1.3.4 Cuando los periodos de interés son mayores que los periodos de pago.

Si los periodos de interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir que algunos pagos no hayan quedado en depósito durante un periodo de interés completo. Estos pagos no ganan interés durante ese periodo. En otras palabras, sólo ganan interés aquellos pagos que han sido depositados o invertidos durante un periodo de interés completo. Las situaciones de este dio pueden manejarse según el siguiente algoritmo:

1. Considérense todos los depósitos hechos durante el periodo de interés como si se hubieran hecho al final del periodo (por lo tanto no habrán ganado interés en ese periodo)

. Considérese que los retiros hechos durante el periodo de interés se hicieron al principio del periodo (de nuevo sin ganar interés)

3. Después procédase como si los periodos de pago y de interés coincidieran.

Ejemplo:

Suponga que Ud. tiene $4,000.00 en una cuenta de ahorros al principio de un año calendárico. El banco paga 6% anual capitalizado trimestralmente, según se muestra en la tabla siguiente en donde se muestran las transacciones realizadas durante el año, la segunda columna muestra las fechas efectivas que debemos considerar de acuerdo a los pasos 1 y 2 del algoritmo. Para determinar el balance en la cuenta al final del año calendárico, debemos calcular la tasa de interés efectiva 6%/4 = 1.5% por trimestre. Posteriormente se suman las cantidades en las fechas efectivas.

Datos: P = $4,000.00 y ver tabla = 6% anual capitalizado trimestralmente = 6%/4 = 1.5% trimestral F  = ?

Fecha efectiva Depósito Retiro Enero 10 $   175.00Febrero 20 $1,200.00Abril 12 $1,500.00Mayo 5 $    65.00Mayo 13 $  115.00Mayo 24 $    50.00Junio 21 $  250.00Agosto 10 $1,600.00Septiembre 12 $  800.00Noviembre 27 $  350.00Diciembre 17 $2,300.00Diciembre 29 $  750.00

1.3.5 Tasa de interés efectiva para capitalización continúa.

Podemos definir que la capitalización continua es el caso límite de la situación de capitalización múltiple de cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago. Al fijar la tasa de interés nominal anual como r y haciendo que el número de periodos de interés tienda a infinito, mientras que la duración de cada periodo de interés se vuelve infinitamente pequeña.    

De la ecuación

i = (1 + r / m ) m  − 1

Se obtiene la tasa de interés efectiva anual con capitalización continua

A medida que el periodo de capitalización disminuye el valor de m, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito.

Se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

1.-Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua.

En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación [43] en sentido contrario.

Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln).

[45] ej - 1 = 0.22

ej = 1.22

ln ej = ln 1.22

j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal 

Interés compuesto.

Ejemplos:

1.- Seis años después de que X abrió una cuenta de ahorros con $ 2,500 ganando intereses al 2.5 % convertible semestralmente, la tasa de interés fue elevada al 3% convertible semestralmente. ¿Cuánto había en la cuenta 10 años después del cambio en la tasa de  interés?

R:

            Formula: S =  C (1+i) ⁿ

Donde:

S= monto de interes compuesto.

C= Capital

1= nuestra constante.

i = tasa de interes.

n = numero de periodos.

En los primeros 6 años C = 2500, i = 0.025, n = 12, y  S = 2500(1.0125)¹²

En los siguientes 10 años C = 2500(1.015)²⁰, i = 0.03, n = 20, Por tanto,

S =  C = 2500(1.0125)¹²  (1.015)²⁰ = 2500(1.160755)(1.346855) = $3908.42

2.- Hallar el monto compuesto de, $ 500 por 7 años, 2 meses al 4.5 %; (b) $ 1500 por 6 años, 7 meses; al 5.5%, convertible semestralmente.

R:

a)      Utilizamos interés compuesto por 7 periodos de conversión e interés simple por dos meses, con lo cual

S = 500(1.045) ⁷ (1 + 0.045/6) = 500(1.36086)(1.0075) = $ 685.53

b)      Utilizamos interés compuesto por 13 periodos de conversión e interés simple por 1 mes, con lo cual.

S = 1500(1+.0275)¹³ (1+.0275/12)

= (1500)(1.42)(1.002)

= $2,1134.26

Interés simple.

Ejemplos:

1.- De termina el interés simple sobre 1000 pesos al 2% durante medio año.

¿Cuál será el monto al final?

S= ¿?

C=$1000

I= 2%                                                                                        

I=S-C

S=I+C

S= (0.02) (6/12)+(1000)

S=1000x0.01=10

S=1000+10

S= 1010

2.- Hallar el interés simple sobre $1500 al 8% del 10 de febrero de 1994 al 21 de junio de 1994.

 

10 Feb           10 Mar        10 Abril   10 May    10 Jun       10 Jun      21 Jun

131 días

S= ¿?

C= $1500

--------->I= 8%                     131 días

S= (131/365) (0.08) + 1500                    S= 1500.028 – 15000

S= 0.35 * 0.08 +1500                              I= 0.028

S= 1500.028

1.2 El valor del dinero a través del tiempo.

Este concepto surge para estudiar de que manera el valor o suma de dinero en el presente, se convierte en otra cantidad el día de mañana, un mes después, un trimestre después, un semestre después o al año después.

Esta transferencia o cambio del valor del dinero en el tiempo es producto de la agregación o influencia de la tasa de interés , la cual constituye el precio que la empresa o persona debe pagar por disponer de cierta suma de dinero, en el presente, para devolver una suma mayor en el futuro, o la inversión en el presente compensará en el futuro una cantidad adicional en la invertida.

1.2.1 Interés simple e interés compuesto.

Interés Simple

El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.

Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). 

Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

Interés Compuesto

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. 

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1.    El capital original (P o VA)

2.    La tasa de interés por período (i)

3.    El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

1.2.2 Concepto de equivalencia.

Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto:

Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras.

Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo

1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano.

2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado.

La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés.

1.2.3 Factores de pago único.

En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i. y (2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. en notación estándar de factores, entonces, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera:

P = F (P/F, i efectivo por periodo, número de periodos)
F = P (F/P, i efectivo por periodo, número de periodos)

Por consiguiente, para una tasa de interés del 12% anual compuesto mensualmente, podrían utilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de n que aparecen en la siguiente tabla, en las fórmulas de pago único. Por ejemplo, si se utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1%), entonces el término n debe estar en meses (12). Si se utiliza una tasa de interés efectiva semestral para i, es decir (1.03)3 - 1 ó 3.03%, entonces n debe estar en trimestres (4).

 

1.2.4 Factores de Valor Presente y recuperación de capital.

Despejando P de la Ecuación B.2, obtenemos:

El factor resultante (1+i)-n se conoce como factor de valor presente con pago simple y se designa FFP:

P = F × FFP ......... (B.5)

Ejemplo B.5 Factor de valor presente con pago simple

¿Cuánto debe invertirse ya (en tiempo presente) al 8% anual compuesto, de modo que puedan recibirse US$ 1 360,5 dentro de 4 años? o ¿cúal es el valor presente equivalente de US$ 1 360,5 de aquí al final de 4 años?

Solución: De la Ecuación B.5,

P = 1 360,5 × (1/1,3605) = 1 360,5 × 0,73503 = US$ 1 000

Nótese que ambos factores son recíprocos. En los métodos de valor presente y tasa interna de retorno, utilizados para evaluar la rentabilidad de proyectos (Capítulo 7), el factor de valor presente se aplica para comparar los flujos de caja con la inversión inicial.

1.2.5 Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta

Las amortizaciones son utilizadas en el ámbito de las finanzas y el comercio para calcular el pago gradual de una deuda, ya que sabemos que en la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Ahora el punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos.

Las transacciones financieras generalmente requieren que el interés se capitalice con más frecuencia que una vez al año (por ejemplo, semestral, trimestral, bimestral, mensual, diariamente, etc. Por ello se tienen dos expresiones para la tasa de interés: Tasa de interés  nominal y tasa de interés efectiva.

1.1 La importancia de la ingeniería económica

La ingeniería económica con lleva la valoración sistemática de los resultados económicos de las soluciones sugeridas a cuestiones de ingeniería. Para que sean aprobables en lo económico, las resoluciones de los problemas deben impulsar un balance positivo del rendimiento a largo plazo, en relación con los costos a largo plazo y también deben promover el bienestar y la conservación de una organización, construir un cuerpo de técnicas e ideas creativas y renovadoras, permitir la fidelidad y la comprobación de los resultados que se esperan y llevar una idea hasta las últimas consecuencias en fines de un buen rendimiento (Sullivan et al., 2004, p.3).

Mientras tanto, la ingeniería económica es la rama que calcula las unidades monetarias, las determinaciones que los ingenieros toman y aconsejan a su labor para lograr que una empresa sea altamente rentable y competitiva en el mercado económico.“La misión de la ingeniería económica consiste en balancear dichas negociaciones de la forma más económica” (Sullivan et al., 2004, p.3).

Para concluir un buen gestor se preocupa por las decisiones que toma diariamente porque afectan el futuro; por lo que debe contar con las herramientas que le proporciona  la Ingeniería Económica ya que es la disciplina que estudia los aspectos económicos de la  ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos presupuestos por la empresa.