1.3 Frecuencia de capitalización

 La frecuencia de capitalización son la cantidad de intereses generados en determinado tiempo, al llegar el plazo acordado, estos intereses se adicionan al capital siendo incrementado este mismo y por ende incrementan los intereses a por venir.

Por ejemplo:

Se tiene un capital de $5,000.00 con un interés del 3% mensual y con una capitalización de cada 6 meses. Entonces:

Interés mensual= 5000 x 3 / 100 = 150

Interés acumulado:   150 x 6= 900

Nuevo capital después de la capitalización: $5,900.00

1.3.1 Tasa de interés nominal y efectiva

La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.

Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período x número de períodos

Ejemplo:

¿A cuánto ascenderá un préstamo de 1,000 al cabo de un año si el interés del 36% capitaliza mensualmente? ¿Cuál es la TEA?

Solución:

VA = 1,000; i = 0.03 (36/12); n = 12; VF = ?; TEA = ?

Luego la TEA del préstamo es:

Como vemos el préstamo de UM 1,000 ganó 42.58% de interés en un año. Esto es, a la tasa nominal del 36%, el Banco en un año ganó la tasa efectiva del 42.58%, la misma que representa la tasa efectiva anual (TEA).

La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

1.3.3 Cuando los periodos de interés coinciden con los periodos de pago

Cuando los periodos de interés y los periodos de pago coinciden, es posible usar en forma directa tanto las fórmulas de interés compuesto desarrolladas anteriormente, así como las tablas de interés compuesto que se encuentran en todos los libros de Ingeniería Económica, siempre que la tasa de interés i se tome como la tasa de interés efectiva para ese periodo de  interés.

 Aún más, el número de años “n” debe remplazarse por el número total de periodos de interés “mn”.

Ejemplo:

Suponga que Ud. necesita pedir un préstamo de $3,000.00. Deberá pagarlo en 24 pagos mensuales iguales. La tasa que tiene que pagar es del 1% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuánto dinero deberá pagar cada mes? Este problema se puede resolver mediante la aplicación directa de la siguiente ecuación, ya que los cargos de interés y los pagos uniformes tienen ambos una base mensual.

Datos:

P = $3,000.00

n = 24 pagos mensuales

 i = 1% mensual sobre saldos insolutos

A =? Mensual

FORMULA

A/P =  ni−+−)1(1  =  (1 )(1 ) 1nni ii++ − → (A/P, i%, n)24240.01(1 0.01)3000 $141.22(1 0.01) 1A += =+ −Por lo tanto, Ud. debe pagar $141.22 cada fin de mes durante 24 meses.

De manera alternativa, lo puede resolver calculando el factor (A/P, i%, n)

OTRO EJEMPLO Suponga que un Ingeniero desea comprar una casa cuyo precio es de $80,000.00 dando un enganche de $20,000.00 y por los $60,000.00 restantes, pide un préstamo que pagará mensualmente a lo largo de 30 años. Calcule el monto de los pagos mensuales si el banco le cobra un interés del 9.5% anual, capitalizado cada año. Nota: En este caso se sustituye i por r/m y n por mn.

1.3.4 Cuando los periodos de interés son mayores que los periodos de pago.

Si los periodos de interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir que algunos pagos no hayan quedado en depósito durante un periodo de interés completo. Estos pagos no ganan interés durante ese periodo. En otras palabras, sólo ganan interés aquellos pagos que han sido depositados o invertidos durante un periodo de interés completo. Las situaciones de este dio pueden manejarse según el siguiente algoritmo:

1. Considérense todos los depósitos hechos durante el periodo de interés como si se hubieran hecho al final del periodo (por lo tanto no habrán ganado interés en ese periodo)

. Considérese que los retiros hechos durante el periodo de interés se hicieron al principio del periodo (de nuevo sin ganar interés)

3. Después procédase como si los periodos de pago y de interés coincidieran.

Ejemplo:

Suponga que Ud. tiene $4,000.00 en una cuenta de ahorros al principio de un año calendárico. El banco paga 6% anual capitalizado trimestralmente, según se muestra en la tabla siguiente en donde se muestran las transacciones realizadas durante el año, la segunda columna muestra las fechas efectivas que debemos considerar de acuerdo a los pasos 1 y 2 del algoritmo. Para determinar el balance en la cuenta al final del año calendárico, debemos calcular la tasa de interés efectiva 6%/4 = 1.5% por trimestre. Posteriormente se suman las cantidades en las fechas efectivas.

Datos: P = $4,000.00 y ver tabla = 6% anual capitalizado trimestralmente = 6%/4 = 1.5% trimestral F  = ?

Fecha efectiva Depósito Retiro Enero 10 $   175.00Febrero 20 $1,200.00Abril 12 $1,500.00Mayo 5 $    65.00Mayo 13 $  115.00Mayo 24 $    50.00Junio 21 $  250.00Agosto 10 $1,600.00Septiembre 12 $  800.00Noviembre 27 $  350.00Diciembre 17 $2,300.00Diciembre 29 $  750.00

1.3.5 Tasa de interés efectiva para capitalización continúa.

Podemos definir que la capitalización continua es el caso límite de la situación de capitalización múltiple de cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago. Al fijar la tasa de interés nominal anual como r y haciendo que el número de periodos de interés tienda a infinito, mientras que la duración de cada periodo de interés se vuelve infinitamente pequeña.    

De la ecuación

i = (1 + r / m ) m  − 1

Se obtiene la tasa de interés efectiva anual con capitalización continua

A medida que el periodo de capitalización disminuye el valor de m, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito.

Se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

1.-Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua.

En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación [43] en sentido contrario.

Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln).

[45] ej - 1 = 0.22

ej = 1.22

ln ej = ln 1.22

j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal